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Beweis zu Untervektorräumen
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blitzgrammatiker
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Nov 2004 - 16:47:41    Titel: Beweis zu Untervektorräumen

Hi Leute.. kann mir jemand sagen, wie ich bei folgendem Beweis ansetze?

(V,w) sei ein Vektorraum. U_k die Menge aller Untervektorräume. A, B seien Elemente von U_k. Beweise, dass
A + B Element U_k(V,w) ist.

Vielen Dank schonmal!
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2004 - 17:53:47    Titel:

du musst ja nur beweisen dass für jedes u, v in A+B auch u+v in A+B, und auch für jedes u in A+B und jedes x in K (dein basiskörper) auch xu in A+b

1) nehmen wir mal ein u und ein v on A+B. dann gibt as a1 und a2 in A und b1 und b2 in B sodass
u = a1+b1
v= a2+b2
dann gilt auch u+v = (a1+b1) + (a2+b2) = (a1+a2) + (b1+b2)
aber da A und B untervektorräume sind, müssen a1+a2 in A und b1+b2 in B, und somit u+v in A+B

2) nimm ein u in A+B, und ein x in K.
dann gibt es a in A und b in B sodass u=a+b
xu = x(a+b) = xa+xb
aber da A und B untervektorräume sind, muss xa in A und xb in B, und somit xu in A+B
Mathe Biene
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 02:48:12    Titel:

Ergänzend zu der Aufgabe:

Seien a_i (i € I) eine Basis von A und a_i (i € J) eine Basis von B.

Basis hatten wir mal definiert als Familie, die Erzeugendensystem für V ist und linear unabhängig.

Zeige: Aus (A geschnitten B = {0}) folgt (I geschnitten J = leere Menge) und es ist (a_i) mit i € I_geschnitten_J eine Basis von A + B.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich weiss, ist irgendwie einigermassen komplex.. was muss ich denn dafür alles zeigen? Danke schonmal..
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 10:38:42    Titel:

also der erste teil der ist trivial.

nehmen wir mal an AnB = {0}, aber InJ ist nciht leer. dann gibt es ein i in InJ mit a_i in AnB. aber da AnB = {0}, muss a_i = 0. aber das ist ein widerspruch, da a_i ein vektor einer basis ist.

dann der zweite teil... das kann nciht stimmen... sie dir da doch noch mal die aufgabenstellung an.
als beispiel: wenn AnB = {0}, dann heisst das ja nach dem ersten teil InJ ={0}. aber das würde dann heissen dass A+B keinen basisvektor hat, und das würde heissen A+B ={0}. und das ist ja absurd

sie dir lieber noch mal die aufgabenstellung etwas genauer an
Mathe Biene
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 11:23:50    Titel:

Danke für Teil 1 ! Leuchtet mir ein... (jaja, im Nachhinein ist man immer schlauer Wink)

Zu Teil 2: der Fehler hat sich am Ende eingeschlichen.. es muss heissen:

Zeige: (....) und es ist (a_i) mit i € I_vereinigt_J eine Basis von A + B.
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 12:12:07    Titel:

ich nehm mal an dass es immer noch AnB={0} ist...
dann ist A+B ne direkte summe... das heisst dass wenn u+v = 0, mit u in A und v in B, u=v=0

du musst nur zeigen dass a_i , mit i in IuJ ne basis von A+B ist.
nehmen wir mal an I={1,..., imax} und J={imax+1,... jmax}
beweis dass es ne basis ist:
x1a1+... x_imax a_imax + x_(imax+1) a_(imax+1)+...+x_jmax a_jmax=0
da a1,..., a_imax ne basis von A ist, muss x1a1+... x_imax a_imax in A.
da a_(imax+1),...,a_jmax ne basis von B ist, ist x_(imax+1) a_(imax+1)+...+x_jmax a_jmax in B

also, da die summe A+B direkt ist, muss
x1a1+... x_imax a_imax=0
x_(imax+1) a_(imax+1)+...+x_jmax a_jmax =0

aber da alles basen sind, muss
x1 = ... =x_imax =x_(imax+1) = ...= x_jmax =0
und somit ist {a_i| i in InJ} ni basis von A+B sein
Mathe Biene
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 16:56:36    Titel:

jaaa.... heute hatten wir den beweis im unterricht.... war eigentlich so gut wie identisch! du bist der beste rulli Smile
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