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Funktionenschar Analysis
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schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
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BeitragVerfasst am: 12 Okt 2006 - 18:18:49    Titel:

Zunächst ist es hilfreich einige Funktionen fa zu plotten, z. B. mit Derive oder per Hand.

zu 3) Zunächst definiere ich eine vollständige eingeschlossene Fläche als die Fläche zwischen Graph und x-Achse, die innerhalb eines lückenlosen Definitionsbereiches durch mindestens zwei Nullstellen des Graphen begrenzt ist. - Wenn jemand eine bessere Def. hat, gerne .- Für die Anzahl der vollständigen Flächen innerhalb eines lückenlosen Definitionsbereiches (ohne Sprung- oder Polstelle) gilt; Nullstellen minus 1.

Im hier vorliegenden Fall ist für jede Funktion fa die Polstelle -1,
da 2(x+1)=0 nicht definiert ist, aber für x=-1 null ist. Das heißt außerhalb der Polstelle müssen die entsprechenden Graphen zu fa mindestens zwei Nullstellen aufweisen, damit die gesuchte Fläche vorliegt.

Die Nullstellen sind bestimmt durch x1,2= 7/2 +- Wurzel(49/4-2a) für alle a<=49/8. Für a=49/8 existiert nur eine Nullstelle, für a>49/8 keine. Das heißt a muss kleiner 49/8 sein, damit zwei Nullstellen existieren. Nun ist die Frage wie man a wählen muss, damit diese zwei Nullstellen auf dem Intervall ]-1;xmax[ liegen. Das größtmögliche a<49/8 liefert die Nullstellen x1,2= 7/2 +- p , wobei p sehr klein angenommen wird. Wächst p durch Einsetzen kleinerer a, wächst der Abstand der beiden Nullstellen auf ]-1;xmax[ wie bei einer Schere. Eine Nullstelle wandert also schrittweise gegen die Polstelle und die andere gegen xmax, dass noch undefiniert ist. Nun ist zu bestimmen, für welchen Wert a sich die linke Nullstelle möglichst nah an der Polstelle befindet. Die Nullstelle zu diesem a muss minimal größer als
-1 sein. Um das entsprechende a zu berechnen kann man die folgende Ungleichung benutzen

Arrow 7/2+-Wurzel(49/4-2a) > -1
Arrow 9/2+-Wurzel(49/4-2a) > 0 |Quadrieren (ist hier Äquivalenzumformung, da es sich um eine Wurzelgleichung mit nur einem Wurzelterm mit linearem ganzzahligem Radikanden=2a handelt)
Arrow 81/4+-(49/4-2a) > 0
1.Fall positive Klammer: arrow: 49/4-2a >- 81/4 Arrow a >-130/-8=65/4=16.25 --> keine Lösung, da für a>49/8 keine Nullstellen existieren
2.Fall negative Klammer:arrow: -49/4+2a > -81/4 Arrow a > -32/8=-4 --> Dieses Ergebnis kommt in Frage
Arrow Es gilt demnach -4<a<49/8 damit auf dem Intervall ]-1;xmax[ zwei Nullstellen existieren. Nun kann man auch xmax berechnen indem man die Nullstelle für a=-4 berechnet, die lautet x=8.
Auf ]-1;8[ existieren demnach für -4<a<49/8 Funktionen fa, die mit der x-Achse eine vollständige Fläche einschließen.

Nun bleibt noch zu prüfen, ob es auch für alle a<-4 solche Fälle gibt. Wenn es sie gibt, dann müssten für alle a<-4 zwei Nullstellen auf dem Intervall [~;-1[ existieren. Da sich aber die "Schere" für kleinere a immer weiter auseinanderbewegt, ist das nicht möglich.
Das heißt also zusammenfassend, dass eine vollständige Fläche von allen Graphen fa mit -4<a<49/8 auf dem Intervall ]-1;8[ gebildet wird.
Ich hoffe ich habe vollständige Fläche richtig definiert. Smile


Zuletzt bearbeitet von schwanzbartkiller am 13 Okt 2006 - 03:13:14, insgesamt einmal bearbeitet
$Kein-Plan$
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Anmeldungsdatum: 23.03.2006
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2006 - 21:26:16    Titel:

Vielen, vielen Dank für die genaue Erklärung, ich glaub, ich hab zum ersten MAl was in Mathe verstanden!!! DANKE Very Happy
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2006 - 21:28:53    Titel:

$Kein-Plan$ hat folgendes geschrieben:
Vielen, vielen Dank für die genaue Erklärung, ich glaub, ich hab zum ersten MAl was in Mathe verstanden!!! DANKE Very Happy


Gerne

Ich sollte Lehrer werden Very Happy
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