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Satz vom maximum und minimum- Beweis
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wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 16:54:26    Titel:

Hab jetzt mal noch genauer nachgeschaut:
Das was Du da suchst, ist der Satz von Weierstraß:
"Ist die Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] definiert und stetig, so besitzt sie dort absolute Minima und Maxima."

Man zeigt nun, das es für diese Aussage ein Kriterium gibt:
Nimmt man an, das die Funktion f(x) an der Stelle x=a ein Extremum besitzt, dann tritt dort mindestens einer dieser Fälle auf:
* a ist eine stationäre Stelle, d.h. f'(a)=0
* a ist eine Randstelle des Definitionsbereichs, man kann also keine Umgebung von a betrachten die komplett im Definitionsbereich liegt.
* a ist eine singuläre Stelle, d.h. f'(a) existiert nicht.

Hinweis:
Dieses Kriterium ist lediglich notwendig, aber nicht hinrechend.
Es gibt Stellen, die keine Extremstellen sind, genauso wenig müssen Randstellen und singuläre Stellen immer Extremstllen sein.

Beweisen wir dieses Kriterium nun mal für Maxima:
(Der Beweis für Minima ist analog !)

Also, f(x) habe bei x=a ein Maximum, a sei nicht singuär, d.h. f'(a) existiert. a sei auch kein Randpunkt, d.h. ein ganzes Intervall (a-€,a+€) liegt im Definitionsbereich.

Wr müssen nun zeigen, das a stationär ist, d.h. f'(a)=0
Rechtsseitiger Grenzwert gegen die Stelle a:

f'(a)+=lim[x->a+]((f(x)-f(a))/(x-a))<=0

und
Linksseitiger Grenzwert gegen die Stelle a:

f'(a)-=lim[x->a-]((f(x)-f(a))/(x-a))>=0

Damit f'(a) = f'(a)+ = f'(a)- , also f'(a)=0

Man kann das ganze auch logisch nachvollziehen, wenn man überlegt, das eine Kurve an Extremstellen eine waagrechte Tangente besitzt, damit ihr Monotonierverhalten sich ändert.
An einem Maximum wechselt sie ihr Monotonieverhalten von Steigen zu Fallen, bei einem Minimum von Fallen zu Steigen.
Überprüfen lässt sich ein Vozeichenwechsel der 1.Ableitung einer Funktion auch durch die Untersuchung der 2.Ableitung.
1.Fall:
f'(a)=0 und f''(a)<0, dann liegt ein Maximum vor
2. Fall:
f'(a)=0 und f''(a)>0, dann liegt ein Minimum vor

Tritt der Fall 3 ein, das
f'(a)=0 und f''(a)=0 liegt die Vermutung nahe, das es sich an dieser Stelle dann um einen Wendepunkt handelt.
Dieser Fallmüsste dann gesondert untersucht werden.

Ich hoffe ich konnte Dir damit etwas helfen...
Gast







BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 14:01:49    Titel: Stetigkeit

.... ist nicht gleich Diffbarkeit
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 16:48:30    Titel:

Hallo Gast,

ich versuche mal einen exakten Beweis zu geben.
Im Prinzip hat Physikus schon alle Ideen geliefert, ich formuliere sie nur etwas aus.

Als zusätzliche Vereinbarung verstehe ich unter einem Intervall automatisch eine beschränkte Menge (ich vermute ihr habt dies so definiert und nennt die "anderen" Intervalle dann uneigentliche Intervalle) und eine nichtleere Menge (hier schlägt die mathematische Spitzfindigkeit zu, ich vermute ihr habt dies so definiert).

Ich beschränke mich auf das Maximum (für das Minimum dann "analog" oder durch Betrachtung der Funktion -f ).

Schritt 1 : sich überlegen, das das Bild einer abgeschlossenen beschränkten Menge unter einer stetigen Abbildung beschränkt ist

Beweis indirekt,
angenommen das Bild wäre unbeschränkt,
oBdA unbeschränkt nach oben ( andernfalls halt die Zahlenfolge der negativen ganzen Zahlen betrachten oder zur Funktion -f übergehen),
dann gilt die Folge der natürlichen Zahlen i liegt ab einem Index K im Bildraum,
betrachtet man nun die Folge von zugehörigen Urbildern u(i) (man wähle hier ein festes Urbild für jedes i), so ist diese Urbildfolge beschränkt ( siehe obige Vereinbarung), nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass besitzt sie eine konvergente Teilfolge ( dieser Satz gehört auf jeden Fall zur Schul-Analysis),
oBdA sei die Folge selbst konvergent (wenn einem diese Standardargumentation nicht vertraut ist, muss man halt die "Indextransformation" explizit hinschreiben, dies ändert aber nur etwas an der Notation, nicht am Inhalt des folgenden Schrittes), und sei mit U ihr Grenzwert bezeichnet,
so gilt ( ab dem Index K ) : f(U) = f(lim u(i)) = lim f(u(i)) = lim i = +unendlich ====> Widerspruch
( das erste Glecihheitszeichen gilt weil U so definiert war; das zweite weil für stetige Abbildungen Funktionswertbildung und Grenzwertbildung vertauscht werden können; das dritte weil u(i) ein Urbild von i war; das vierte weil die Folge (und damit auch jede Teilfolge) der natürlichen Zahlen gegen +unendlich konvergiert )
(ein Widerspruch ergibt sich weil die Abbildung f eine reelle Abbildung ist)
(wenn der Begriff der uneigentlichen Konvergenz von Folgen nicht zur Verfügung steht, ersetze man das letzte Gleichheitszeichen durch "Folge divergiert gegen +unendlich" und erhalte so einen Widerspruch)

Schritt 2 : sich überlegen, das das Supremum S der Bildmenge wohldefiniert ist

Nach Schritt 1 ist die Bildmenge beschränkt, nach der zusätzlichen Vereinbarung (siehe oben) ist sie auch nichtleer, also existiert das Supremum.

Schritt 3 : sich überlegen, das das Supremum S auch als Wert von f angenommen wird ( und damit die Bezeichnung Maximum verdient)

Beweis :
Hierzu ist es nützlich sich zu überlegen, das es immer eine Folge u(i) im Bildraum gibt, welche gegen das Supremum konvergiert (dies ist eine generelle Eigenschaft des Supremums ) und dann die Argumente von Schritt 1 zu übertragen ; also die Folge der Urbilder betrachten, nach Bolzano-Weierstrass zu einer konvergenten Teilfolge mit Grenzwert U übergehen und dann wegen der Stetigkeit von f Funktionswertbildung und Grenzwertbildung zu vertauschen : f(U) = S .

Ich hoffe, dies hilft dir bei dem Beweis für dein Referat etwas weiter.

MfG Mirona
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 16:57:04    Titel:

Zitat:
Nach Schritt 1 ist die Bildmenge beschränkt, nach der zusätzlichen Vereinbarung (siehe oben) ist sie auch nichtleer, also existiert das Supremum.


Betrachte f(D_f) = ]-1,1[. Dann ist f(D_f) beschränkt, aber es gibt keine Maxima und Minima (das ist natürlich kein G.B. zum Satz, sondern zu Aussage oben). Der Witz ist, dass man hier die Kompaktheit im vollen Umfang braucht: also beschränkt und abgeschlossen.
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 17:59:06    Titel:

Hallo algebrafreak,

ich verstehe den Zusammenhang von dem Zitat und der Bemerkung nicht ganz.
Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum (dies ist ja gerade die Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen). Ob dieses aber auch ein Element der betrachteten Menge ist ( und damit als Maximum dieser Menge bezeichnet werden kann ) , ist eine vollkommen andere Frage ( ist im Allgemeinen natürlich nicht notwendig ein Element der Menge, siehe dein Beispiel ).

Ja, die beiden Eigenschaften Abgeschlossenheit und Beschränktheit (der Ausgangsmenge) werden beide benötigt (für den Satz),
die Beschränktheit bei mir bei der Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstrass (also im Schritt 1 und 3 jeweils um zu einer konvergenten Teilfolge mit Grenzwert U überzugehen),
die Abgeschlossenheit um dann zu begründen, warum U in der Ausgangsmenge liegt ( um also den Ausdruck f(U) überhaupt erst "hinschreiben" zu dürfen).

MfG Mirona
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 18:06:21    Titel:

Nehme alles zurück. Ich habe sprachlich was falsch verstanden Sad

P.S.: Ich glaube der Vortrag ist schon seit Wochen gehalten worden Smile
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 18:13:51    Titel:

Oh mein Gott Shocked /selfslap

Wer holt denn sowas wieder an die Oberfläche.
Schnell in die Versenkung damit.

P.S. musstest du das auch erwähnen Very Happy
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