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Aussage äquivalent
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franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 17:14:20    Titel: Aussage äquivalent

Hallo,

ich soll zeigen, dass paar Aussagen äquivalent sind.
Z.B.

1.
| (z + 1) / (z - 1) | >= 1 und R(z) >= 0

2.
| (z + i) / (z - i) | = 1 und z reell.

Wenn ich bei der 1. für z=1 setze, dann habe ich ja 0 oder??
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 17:43:25    Titel:

Da es sich hierbei um rechnen mit komplexen Zahlen dreht komm ich auf folgenden Ansatz: (für 1.)

z = x + iy

Damit:

| (z + 1) / (z - 1) | = 1 <=> | (x + iy + 1) / (x + iy - 1) | = 1 <=>
| (x + iy + 1) | / | (x + iy - 1) | = 1 <=> | (x + iy + 1) | = | (x + iy - 1) |
Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert durch:
|z| = |x+iy| = sqrt(x²+y²)

Daher:

| (x + iy + 1) | = | (x + iy - 1) | <=> sqrt((x+1)²+y²) = sqrt((x-1)²+y²) <=> (x+1)² + y² = (x-1)² + y² <=> x² + 2x + 1 + y² = x² - 2x + 1 + y² <=> x=0 (das ist die imaginäre Achse)

Geometrisch gedeutet sind das alle Punkte z, die von 1 und -1 den gleichen Abstand haben, d.h. alle punkte der imaginären Achse.
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 17:46:25    Titel:

Damit denke ich, dass R(z)>=0 keine Rolle spielt...
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 17:53:54    Titel:

nehmen wir mal an z = x+iy

das setzt du nun in deine rechnungen ein:

| (x+1 +iy) / (x-1 +iy)| =|x+1 +iy| / |x-1 +iy|
also:
| (x+1 +iy) / (x-1 +iy)| >=1 <=> |x+1 +iy| >= |x-1 +iy|
<=> (x+1)² +y² >= (x-1)² +y²
<=> (x+1)² >= (x-1)²
<=> x+1 >= x-1 oder x+1 >= 1-x
<=> 1>= -1 oder 2x >=0
<=> x>=0
aber es ist ja gerade x = Re(z)

nummer 2 dann (eigentlich geanu das selbe)
| (z + i) / (z - i) | = 1 <=> |x+(y+1)i| = |x+(y-1)i|
<=> x² + (y+1)² = x² + (y-1)²
<=>.... (cf. oben, du brauchst nur x und y zu vertauschen)
<=> y= 0
aber y = Im(z)
und Im(z) = 0 <=> z ist reel
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 17:59:06    Titel:

@wild_and_cool
Zitat:

(z + 1) / (z - 1) | = 1

lies die aufgabe noch mal genau... Wink
dann spielt Re(z) >=0 schon ne gewisse rolle Wink
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 15 Nov 2004 - 18:02:27    Titel:

Kann man ja mal übersehen... SORRY Embarassed
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