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Anwendung der Integralrechnung: Flächenberechnung
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physik_0000
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Anmeldungsdatum: 22.04.2006
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 06:30:46    Titel: Anwendung der Integralrechnung: Flächenberechnung

Hallo Leute,

Zur Hausaufgabe habe ich die folgende Aufgabe bekommen:

Arrow 1) Der Graph einer quadratischen Funktion f geht durch die Punkte A (0/0) und B (4/0). Er schließt mit der x-Achse eine Fläche A mit dem Inhalt 8/3 ein. Sein Extremum liegt im ersten Quadrnten. Wie lautet die Funktionsgleichung von f?

Idea Für den Anfang kann man schon die Punkte einzeichnen, wodurch man herauskriegt, dass der Interval (0;4) beträgt. Man kann vermuten, dass der Extrempunkt ein Hochpunkt (HP) ist; denn dieser befindet sich im 1. Quadranten.

Mir ist klar dass man somit allein durch die Zeichnung eine Menge herausfindet. Wie soll man aber jetzt bei der Aufgabe vorgehen? Wie kann man den Funktionsgraphen berechnen?? Sad Crying or Very sad
leonada
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Anmeldungsdatum: 15.08.2006
Beiträge: 224
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 06:43:23    Titel:

Hallo,

allgemein: f(x) = ax^2 + bx + c

Die beiden Nullstellen sind gegeben, der Hochpunkt liegt in Q1, der Graph schließt mit der x-Achse eine bestimmte Fläche ein....

Arrow Der Hochpunkt in Q1 muss der Scheitel sein, wobei die x-Koordinate genau zwischen den Nullstellen liegt. Skizze!

Weiters:

f(0) = 0: c = 0
f(4) = 0: 16a + 4b = 0 => b = -4a

int(0,4, ax^2 + bx) = 8/3 .... für b einsetzen.... => Gleichung in a...

Hilft Dir das weiter?

liebe Grüße
elsa
physik_0000
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Anmeldungsdatum: 22.04.2006
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 12:23:58    Titel:

Zitat:
Weiters:

f(0) = 0: c = 0
f(4) = 0: 16a + 4b = 0 => b = -4a


Wenn ich c habe (da 0/0 der Scheitelpunkt ist), muss ich es als 4 in die Gleichung nicht mehr einsetzen, richtig?

In diesem Fall schreibe ich folgendes:

F(x) = ax² + bx + c
F(4) = 4a² + 4b
-4b = 16a / :-4
b =-4a

Da hab ich kapiert was du gemeint hast. Das folgende ist mir aber noch immer unklar:

Zitat:
int(0,4, ax^2 + bx) = 8/3 .... für b einsetzen.... => Gleichung in a...


??

Tut mir Leid, aber ich muss so viele Fragen stellen... Die Lektion haben wir letztes Schuljahr gemacht und ich habe schon wieder alles vergessen....

Crying or Very sad
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 12:29:40    Titel:

physik_0000 hat folgendes geschrieben:

Wenn ich c habe (da 0/0 der Scheitelpunkt ist), muss ich es als 4 in die Gleichung nicht mehr einsetzen, richtig?


nein, musst du dann nicht mehr.

Weiter unten berechnest du das Integral von f(x) von 0 bis 4.

Du kannst nun erstmal die Stammfunktion bilden, die Grenzen einsetzen und alles umformen / ausrechnen. In der vorhergehenden Gleichung hat leonada ja bereits den berechneten Wert fuer b = -4a eingesetzt (dies spart dir spaeter einen weiteren Schritt).

int(f(x)dx) = F(x) = (1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 +C

I = 8/3

8/3 = F(4) -F(0)

Wenn du dies nun umstellst und dann fuer b = -4a einsetzt, kannst du die Gleichung nach a aufloesen und dann eben noch b berechnen.

Ok?

Gruss:


Matthias
physik_0000
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Anmeldungsdatum: 22.04.2006
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 12:57:51    Titel:

Zitat:
int(f(x)dx) = F(x) = (1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 +C



Arrow Um überhaupt damit anfangen zu können, muss ich erstmal die Funktion bestimmen. Dabei habe ich folgendes erhalten:

f (x) = -4x²-4x

Dann wird bei mir F (x) etwas völlig anderes als bei dir.... Was ist jetzt mein Fehler bei der Berechnung von a??
Ich erhalte dafür -4b... Crying or Very sad
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
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BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 13:17:37    Titel:

wie willst du die Funktion denn bestimmen? Du benoetigst drei Bedingungen um die drei Unbekannten eindeutig zu bestimmen. Die ersten beiden Bedingungen ergeben sich durch die Punkte. Die dritte Bedingung ist die begrenzte Flaeche, folglich der Ansatz ueber das Integral.

Gruss:


Matthias
physik_0000
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Anmeldungsdatum: 22.04.2006
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 13:57:53    Titel:

Unklar ist, wie man das Integral bestimmen kann, ohne die dritte Unbekannte zu kennen Question
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 14:14:03    Titel:

du kannst mit den geg. Informationen drei Gleichungen aufstellen. Du benoetigst drei, da du drei Unbekannte (a, b und c) hast.

f(x) = ax^2 + bx + c

1) f(0) = 0; c = 0

2) f(4) = 0; 16a + 4b = 0

3) 8/3 = int((ax^2 + bx)dx) von 0 bis 4

==> 3)

F(x) = (1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 +C

8/3 = F(4) - F(0)

8/3 = (64/3)a + 8b
Jetzt hast du zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, die du einfach loesen kannst.

1) 16a + 4b = 0
3) (64/3)a + 8b = 8/3

Ok?

Gruss:


Matthias
physik_0000
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Anmeldungsdatum: 22.04.2006
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 14:48:18    Titel:

Zitat:
8/3 = F(4) - F(0)

8/3 = (64/3)a + 8b



Wo hast du denn 8b her??
Wenn wir F(4) berechnen sollen ergibt sich folgendes:

f(4) = 16a + 4b
F(4) = 8a² + 2b²
F(x) = 64a + 4b

Ich erhalte aber dafür 4b - wo liegt der Fehler jetzt??
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2006 - 14:53:56    Titel:

wo die 8b herkommen? Schau hier:

F(x) = (1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 +C

(1/2)b*(4)^2 = 0,5*b*16 = 8*b

Ok?

Gruss:


Matthias
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