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Finde alle komplexen Zahlen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Finde alle komplexen Zahlen
 
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peterandre60311
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Anmeldungsdatum: 02.11.2006
Beiträge: 265

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 20:26:08    Titel: Finde alle komplexen Zahlen

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor:

Finden sie alle komplexen Zahlen mit z (Konjugation) = z^2.

Bitte um Lösungsvorschlag und Erläuterung.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 20:39:53    Titel:

Die einfachste Lösung besteht mit ziemlicher Sicherheit den Betrag auf die Gleichung loszulassen:

z^-=z^2

==>

|z^-|=|z^2|

==>

|z|=|z^2|

==>
|z|=0 oder |z|=1.

1. Fall: |z|=0 ==> z=0; Lösung (wie die Probe bestätigt)

2. Fall: |z|=1 ==> z^-=1/z ==> 1/z=z^2 ==> z ist dritte Einheitswurzel ==> Lösung (wie die Proben [3] bestetigen)


Viele Grüße, Cyrix
peterandre60311
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Anmeldungsdatum: 02.11.2006
Beiträge: 265

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 21:17:58    Titel:

Ist das auch mathematisch korrekt formuliert??
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 21:19:31    Titel:

peterandre60311 hat folgendes geschrieben:
Ist das auch mathematisch korrekt formuliert??


Klar. Smile

btw: mit z^- meine ich "z konjugiert" Smile


Viele Grüße, Cyrix
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 21:28:51    Titel:

z^-=z^2

sehe das etwas anders:

Ansatz sei
z=x + iy ......... z^- = x – iy ...........z^2 = x^2 +2ixy – y^2

also z^-=z^2 ... Arrow x – iy = x^2 +2ixy – y^2
daraus folgt das Gleichungssystem für die reellen x und y :

I) x = x^2 –y^2 ............... oder ..... y^2 = x(x-1)
II) – y = 2xy .................... oder ..... y(2x +1) = 0

aus II) folgt a) y=0 ... oder b) x= -(1/2)

eingesetzt in I):
a) y=0 Arrow x=0 .. oder .. x=1 also Lösungen: z1=(0/0) , z2=(1/0)

b) x= -(1/2) Arrow y^2=3/4 also y= (+ oder - ) (1/2)*Wurzel(3)...
Lösungen: z3=(-(1/2) / (1/2)*Wurzel(3) ) , z4= (-(1/2) / -(1/2)*Wurzel(3) )

mit diesen vier Werten für z hast du alle Lösungen für z^-=z^2
Smile
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 21:32:18    Titel:

zu kompliziert Wink

Viele Grüße, Christian
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 22:07:32    Titel:

@cyrix42
... dafür aber richtig Smile ... (im Unterschied zu deinem Vorschlag Sad )
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 22:23:48    Titel:

der ist durchaus richtig Wink

Das einzige, was man beachten muss, ist |z^-|=|z| und |z^2|=|z*z|=|z|*|z|=|z|^2. Smile

edit: hier hatte sich ein Schreibfehler eingeschlichen (da stand mal was von "|z|/|z|", was natürlich falsch ist, es müsste eben ein "*" da stehen, siehe oben. Smile )

Viele Grüße, Cyrix

p.s.: Wenn dir was nicht klar ist, dann poste mal. Smile


Zuletzt bearbeitet von cyrix42 am 13 Nov 2006 - 22:31:55, insgesamt einmal bearbeitet
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 22:26:51    Titel:

btw: Dir sollte auffallen, dass wir beide die gleichen Lösungen haben... Smile


Viele Grüße, Cyrix
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Nov 2006 - 22:32:32    Titel:

..ist mir auch (leider mit Verzögerung) aufgefallen .. Smile
..war mit dem Löschversuch schon zu spät... ok?
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