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Matheaufgabe zum Thema Kurvendiskussion
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EinGast
Gast






BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 16:34:39    Titel: Matheaufgabe zum Thema Kurvendiskussion

Hallo!
Ich bin hier gelandet, in der Hoffnung, dass mir vielleicht jemand mit dieser Aufgabe helfen könnte.

Der Innenbogen des Gateway-Arch in St.Louis lässt sich näherungsweise beschreiben (x in m) durch die Funktion f mit
f(x) = 187.5 - 0,016x² - 0,000002x hoch4.

a. berechnen sie die Höhe und die Breite des Innenbogens.
b. Wie groß sind die Winkel, die der Innenbogen mit der Grundfläche bildet?
c. Bei einer Flugveranstaltung soll ein Flugzeug mit einer Flügelspannweite von 18m unter dem Bogen hinduschfliegen. Welche Maximalflughöhe muss der Pilot einhalten, wenn in vertikaler und horizontaler Richtung ein Sicherheitsabstand zum Bogen von 100 m eingehalten werden muss?

Bedanke mich schonmal im voraus für mögliche Antowrten!
Gast







BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 21:46:57    Titel:

Hi. Was ist Gateway-Arch? Smile
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 23:13:38    Titel: Lösungsvorschlag

Hallo,

ich versuche mich mal. (Gateway-Arch ist englisch für Torbogen.)

Bei der angegebenen Funktion handelt es sich um eine gerade Funktion (nur gerade Expoenten), darum ist sie symmetrisch zur y-Achse. Da die Vorfaktoren vor x² und x^4 negativ sind verringert sich der Funktionswert, wenn der Betrag von x zunimmt, d.h. die Funktion hat eine Maximalstelle bei x = 0 mit dem Maximum = 187,5 (Meter), der Höhe des Innenbogens.

Für die Ermittlung der Breite des Bogens sind die Nullstellen zu errechnen.
Die Funktion lässt durch die Substitution x² = z oder besser x² = 1000 y in eine Funktion 2. Grades transformieren:
f(y) = 187,5 - 16y - 2y²

Die Nullstellen dieser Funktion lassen sich mit bekannten Verfahren oder einem etwas besseren Taschenrechner ermitteln:
y = {-14,4761634 ; 6,4761634}

Durch Rücktransformation ( x = +/- Wurzel(1000y) ) erhalten wir zwei komplexe Lsg. und zwei relle Lsg. (hier bertrachten wir nur die reelen):
x1/x2 = +/- 80,4746133
Damit ist der Bogen am Boden (y=0) 80.4746133 * 2 = 160,9 Meter breit


Nun zum zweiten Teil der Aufgabe (b). Ich vermute es ist der Schnittwinkel gesucht mit dem die Kurve die x-Achse schneidet, also den Nullstellen.
Die Ableitung von f(x) ist:
f´(x) = -0,032x -0,000008x³
f´(x1) = f´(80,4746133) = -6,744521619
Das bedeutet, wenn man die Tangente in dieser Nullstelle einzeichnet, dann befindet sich der Punkt (x1 + 1; -6,744521619) auf dieser Tangente. Dieser Punkt bildet mit den Punkten (x1; 0) und (x1 + 1; 0) ein rechtwikliges Dreieck, dessen Winkel alpha am Punkt (x1; 0) folgenden Wert annimmt:
alpha = arctan (Gegenkathete/Ankathete) = arctan(-6,744521619/1) = -81, 566284 °
oder im Radialmaß (360° = 2 * pi):
alpha = -1,42360022
Aus Symmetriegründen (s.o.) beträgt der 2. Winkel
beta = 81, 566284 °


Nun zum 3. Teil (c).
Oben haben wir berechnet, dass das Tor nur ca. 160 Meter breit ist. Da nun rechts und links vom Flugzeug 100 Meter Abstand eingehalten werden müssen, dann benötigen wir (100 + 18 + 100 = 218) Meter Platz in der Breite, der leider nicht zur Verfügung steht.

Gehen wir davon aus, dass eine negative Flughöhe erlaubt ist, dann errechnet sich diese durch f(218/2) = f(109) = -284, 91232 , weil an dieser Stelle der Abstand der beiden Kurventeile genau 218 ist. (Aus logischen Überleggründen wird der vertikale Abstand von 100 Metern eingehalten.

War hingegen gemeit, dass rechts und links vom Flugzeug nur 50 Meter Platz zu sein braucht, dann erbit sich f(118/2) = f(59) = 107,56928 (Meter). Da die Maximale Höhe des Bogens 187,5 Meter ist wird der vertikale Abstand nicht eingehalten. Die Höhe des Bogens beträgt oberhalb der Flügelspitzen f(18/2) = f(9) = 168,19088 (Meter), also darf das Flugzeug nur mit einer Höhe von 168,19088 - 100 = 68,19088 Metern daruter hindurch fliegen.

(Für andere Zahlenwerte lassen sich die Ergebnisse analog errechnen.)

Ich hoffe das hilft etwas.

Grüße
Thomas
Gast







BeitragVerfasst am: 21 Nov 2004 - 23:46:40    Titel:

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