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Tangente an ln(x)
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N33dHeLp
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Anmeldungsdatum: 02.12.2006
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BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 08:53:54    Titel: Tangente an ln(x)

Hi habe hier ein kleines Problem. also Habe folgende aufgabe.

Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=ln x

Welche der Tangenten an den Graph von f geht durch den ursprung?

also da komme ich absulut net weida. Habe also die Funktion f(x)=ln x
ich bilde die Ableitung um die Steigung der Tangente zu berechnen. nun hackt es bei mir. f'(x)=1/x . logisch. für die tangentengleichung nehme ich
t(x)=m*x +b
t(0)=0 also wäre ja schon :
0= m*0 +b
b= 0

ab da komme ich GARNET weida. hat jemand nen tip wie ich weiter verfahren sollte? weiß nämlich net wie ich jetzt den Punkt an f(x) finde der zu meiner tangente passt
Crying or Very sad

gruß n33d

EDIT:!!!!!!!!!

habe nochma nachgedacht. also da die tangente durchn ursprung geht muss sie die funktion haben:

t(x)=m*x
ich denke mir f(x)=t(x) sein oder?

dann wäre das ja ln x = m*x
oder liege ich da voll falsch?
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 11:50:26    Titel:

arbeite mit der allg. Tangentengleichung:

t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u)

Du kennst den Punkt P(0/0), sowie f(x) = f(u) und kannst loslegen.

Soweit klar, wie du vorgehst?

Gruss:


Matthias
N33dHeLp
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Anmeldungsdatum: 02.12.2006
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 12:06:30    Titel:

und was is f(u) ? Oo

also das einzige was ich kenne is die normalform

y = m*x +b
kann natürlich auch zwischen zweipunkte form und punktsteigungsform unterscheiden wenn ich mich recht erinnere. könntes du mir f(u) nochmal erklären? oder was das für eine form is. danke

gruß
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 13:30:10    Titel:

f(x) = ln(x), also ist f(u) = ln(u) ; f'(u) = 1/u

t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u)

P auf t(x):

0 = (1/u) * (0 -u) + ln(u) <=> (1/u)*(-u) +ln(u) <=> 1 = ln(u) --> e^1 = u

Also liegt bei u = x = e die Beruehrstelle der Geraden durch P an f(x) vor.

Wie lautet nun die Tangente? Einfach u in t(x) einsetzen:

fuer u = e^1:

t(x) = (1/e)*(x-e) + ln(e)

t(x) = (x/e) -1 +1 = (1/e)*x

Jetzt noch den BP berechnen:

t(e) = (1/e)*e = 1 ==> BP(e / 1)

Ok?

Gruss:


Matthias
N33dHeLp
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Anmeldungsdatum: 02.12.2006
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 13:49:25    Titel:

ok leuchtet mir langsam ein. f(u) = b sein? aber wieso is das so?

gruß
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
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BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 13:51:39    Titel:

f(u) = b? Wo steht das?

Du setzt lediglich fuer x eben u ein. Der Wert fuer u, den du noch berechnest, ist die Beruehrstelle deiner Tangente an f(x).

Bsp.: f(x) = ln(x) ; f(1) = ln(1) ; f(v) = ln(v) und f(u) = ln(u)

Ok?

Gruss:


Matthias
N33dHeLp
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Anmeldungsdatum: 02.12.2006
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 14:05:02    Titel:

t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u)

naja hat ja die ähnlichkeit mit mx+b darum kam ich darauf Very Happy

noch ne frage. sorry wenn ich nerve ;(
wieso denn x-u ?

gruß
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
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BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 14:09:47    Titel:

du nervst nicht! Immer weiter fragen, bis du es verstanden hast :-)

Schauen wir doch mal:

t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u)

[t(x) -f(u)] / [x-u] = f'(u) = m

Also, m = f'(u) ist die Steigung in dem Punkt O(u / f(u)) an f(x) bzw. f(u) = ln(u). Bei den Koordinaten des Punktes P(x / t(x)) handelt es sich um die geg. Informationen von P(0/0), durch welchen Punkt die Tangente gehen soll.

Gruss:


Matthias
N33dHeLp
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Anmeldungsdatum: 02.12.2006
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 14:13:46    Titel:

kk also das mit f'(u)= m war mir klar Wink
was mich gewundert hat war:

t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u)

also wieso x-u hoffe habe deinen erklärungsverushc dazu net übersehn Sad

gruß
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2006 - 14:16:28    Titel:

N33dHeLp hat folgendes geschrieben:

also wieso x-u hoffe habe deinen erklärungsverushc dazu net übersehn :(


ich denke schon...

m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

Projiziere das jetzt mal auf die Punkte P1(x / t(x)) und P2(u / f(u)).

Gruss:


Matthias
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