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extremwertproblem: Rechteck in gleichschenkligem dreieck
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> extremwertproblem: Rechteck in gleichschenkligem dreieck
 
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die hanna
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 17:54:46    Titel: extremwertproblem: Rechteck in gleichschenkligem dreieck

hallo
ich habe folgendes problem:
gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der grundseite c=5,6 cm und der höhe h=3,6 cm
ich soll das größtmögliche rechteck in dem dreieck ausrechnen... soll irgendwie mit dem strahlensatz funktionieren und die höhe des rechtecks soll 1,8 cm sein (das weiß ich aber nur aus der lösung, ist nicht gegeben...!)
wie komme ich an die lösung???
wäre toll, wenn ihr mir helfen könnt!!!
die hanna
algebrafreak
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Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:30:04    Titel:

Ein flächenmaximales Rechteck muß mit seinen Ecken die Seiten berühren, denn sonst ließe sich in die Richtung des Lotes auf die Seite ein grösseres angeben. D.h. eine der Seiten im Rechteck fällt mit einer der Seiten im Dreick zusammen. Wegen der Gleichschenkligkeit sind nur der Fall Grundseite und nicht GS. zu betrachten. Ich mache nur eins für die GS. Sei x die halbe Seitenlänge x = a/2 des Rechtecks und sei b seine Höhe. Sei A ein Eck. M die GSMitte und B der Eck-Punkt auf der Strecke AM. Dann sind die entstehenden Dreicke Kongruent.

Weiter?
die Hanna
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:35:51    Titel:

warum ist x die halbe seitenlänge???
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:38:25    Titel:

Weil ich sie durch ein "Sei x " so eingeführt habe. x Ist dann die Länge von BM.

Code:

         G
        /\
       /| \
     /  |   \
  C/_____|____\D
  / |    |    | \
/   |    |    |   \
A--B----M---------


ABC und AMG sind kongurent. Bei GS müssen die Berührpunkte C und D symmetrisch liegen.


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 26 März 2005 - 18:47:57, insgesamt 2-mal bearbeitet
die Hanna
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:45:56    Titel:

äh... und BM ist?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:49:02    Titel:

Ich habe 5 Minuten lang versucht das ding hinzubekommen. Schau's Dir an. Ich mag keine "Zeichne-Nur-Bildchen" Aufgaben Smile
die Hanna
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:53:15    Titel:

ähm... kongruent heißt nochmal was?
die Hanna
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:57:32    Titel:

ah... ok, bin da... wie gehts weiter?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 19:06:55    Titel:

Da gibt es doch so einen Satz GM verhält sich zu CB, wie AM zu AB. Also
GM/CB = AM/AB. AM = 5,6cm. AB = 5,6-x. GM = 3,6cm und sei CB = y. Dann hat man

5,6 / (5,6-x) = 3,6 / y => (Angenommen rechteck nicht trivial)
y = 3,6*(5,6-x) / 5,6

Man maximiere die Fläche A = 2*x*y = 2*x*3,6*(5,6-x)/5,6.

Ableitung bilden und die Nullstellen davon suchen Ergebnis:

A'(x) = 0 => x = 2,8

Daraus folgt 2*x = 5,6 und die Höhe ist 10,08/5,6 = 1.8

Halleluja Smile
Gast







BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 19:07:17    Titel:

Hi Hanna!
In einem symmetrischen Dreieck hast du ein symmetrisches Rechteck ( Embarassed ). Du willst das Rechteck mit der maximalen Fläche.
Fläche eines Rechtecks: A=a*b, das ist aber Funktion von a unt von b, A(a,b)=a*b. Du brauchst aber Funktion einer Variablen,
entweder A(a) oder A(b), also muss entweder a oder b umgeschrieben werden.
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