Es gibt sicherlich noch andere Reduktionsformeln, hier auf uni-protokolle.de werden zunächst die der Winkelfunktionen betrachtet.
Reduktionsformeln für Winkelfunktionen
Will man die Werte der Winkelfunktionen Sinus Kosinus Tangens und Kotangens durch Näherungsformeln oder Tabellen bestimmen ist es ratsam das Argument φ möglichst klein zu wählen. Dafür ist nachstehend eine Tabelle angegeben.
Periodizität. Für alle Winkel φ und ganzen Zahlen k gilt:
- sin(φ + 360°· k ) = sin(φ)
- cos(φ + 360°· k ) = cos(φ)
- tan(φ + 180°· k ) = tan(φ)
- cot(φ + 180°· k ) = cot(φ)
Die folgende Tabelle gibt für einen gegebenen Winkel φ aus dem Intervall [0° 360°] und eine der Winkelfunktionen einen Winkel x in [0° 45°] und einen Ausdruck an der denselben Wert liefert:
| φ in | [0° 45°] | [45° 90°] | [90° 135°] | [135° 180°] |
| x := | φ | 90° – φ | φ – 90° | 180° – φ |
| sin φ = | + sin x | + cos x | + cos x | + sin x |
| cos φ = | + cos x | + sin x | – sin x | – cos x |
| φ in | [180° 225°] | [225° 270°] | [270° 315°] | [315° 360°] |
| x := | φ – 180° | 270° – φ | φ – 270° | 360° – φ |
| sin φ = | – sin x | – cos x | – cos x | – sin x |
| cos φ = | – cos x | – sin x | + sin x | + cos x |
| φ in | [0° 45°] | [45° 90°] | [90° 135°] | [135° 180°] |
| x := | φ | 90° – φ | φ – 90° | 180° – φ |
| tan φ = | + tan x | + cot x | – cot x | – tan x |
| cot φ = | + cot x | + tan x | – tan x | – cot x |
Beispiel
Will man sin(500°) berechnen bringt man durch die Periodizität den Winkel zwischen 0 und 360°: sin(500°) = sin(240°). Nach Tabelle wählt man x = 270° – 240° = 30° also ist sin(240°) = -cos(30°) = – 1/2 √3 (laut der untenstehenden Tabelle).
Spezielle Werte der Winkelfunktionen
Funktionswerte für besonders einfache Winkel:
| x | sin x | cos x | tan x | cot x | |
| 0° | 0 | 1/2 √0 = 0 | 1/2 √4 = 1 | 0 | – |
| 30° | π/6 | 1/2 √1 = 1/2 | 1/2 √3 | 1/3 √3 | √3 |
| 45° | π/4 | 1/2 √2 | 1/2 √2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 √3 | 1/2 √1 = 1/2 | √3 | 1/3 √3 |
| 90° | π/2 | 1/2 √4 = 1 | 1/2 √0 = 0 | – | 0 |
Funktionswerte für weitere Winkel:
| x | sin x | |
| 15° | π/12 | <math>\frac{1}{4} \sqrt{6} (1-\sqrt{1/3})</math> |
| 18° | π/10 | <math>\frac{1}{4} (\sqrt{5} – 1) = \rho/2</math> |
| 22 5° | π/8 | <math>\frac{1}{2} \sqrt{2 – \sqrt{2}}</math> |
| 36° | π/5 | <math>\frac{1}{4} \sqrt{10 – 2 \sqrt{5}}</math> |
| 54° | 3*π/10 | <math>\frac{1}{4} (\sqrt{5} + 1) = \tau/2</math> |
| 67 5° | 3*π/8 | <math>\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}</math> |
| 72° | 2*π/5 | <math>\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}</math> |
| 75° | 5*π/12 | <math>\frac{1}{4} \sqrt{6} (1+\sqrt{1/3})</math> |
Dabei ist ρ der Goldene Schnitt und τ = 1 + ρ:<math>\rho = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{5}) \approx 0{ }618 \quad \tau = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) \approx 1{ }618</math>
Für andere Winkelfunktionen benutze cos(x) = sin(π/2 – x) = sin(90° – x).
Mit Hilfe von Additionstheoremen und Halbwinkelformeln (siehe Trigonometrische Funktion ) kann man exakte Werte für weitere Winkel bestimmen. Der kleinste ganzzahlige Winkel für den das möglich ist beträgt 3° = π/60. Der exakte Wert von sin(3°) ist jedoch ein komplizierter Wurzelausdruck:<math>\sin(3^\circ) =\frac{1}{16} (\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5} + \sqrt{2 \cdot 5} – \sqrt{2 \cdot 3} – \sqrt{2}) +\frac{1}{8} (1 – \sqrt{3}) \sqrt{5 + sqrt{5}} </math>
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