1.Raumgeometrie am Computer 2.Handlungsorientierter Unterricht 3.Schülerfehler bei der Bruchrechnung | 2. Staatsexamen | Mathematik | Universität Frankfurt am Main

1.Raumgeometrie am Computer 2.Handlungsorientierter Unterricht 3.Schülerfehler bei der Bruchrechnung | Mathematik

01.06.2001

Art der Hochschule:

Universität

Prüfungsort:

Frankfurt am Main

Studienfach:

Mathematik

Art der Prüfung:

2. Staatsexamen

Prüfungsfach:

1.Raumgeometrie am Computer 2.Handlungsorientierter Unterricht 3.Schülerfehler bei der Bruchrechnung

Dauer:

40-50 Minuten

Note:

Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?

keine Angabe

Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?

keine Angabe

Prüfungsablauf / Tipps

Verwendete Literatur:
Padberg: Didaktik der Bruchrechnung
Schumann: Raumgeometrie - mit und ohne Computer
IN: Mathematik lehren Heft 67
Seite 4-58 Kroll u.a.: Raumgeometrie, eine curriculare Herausforderung
IN: Mathematik lehren Heft 77
Seite 4-67
Schumann: Koerpergeometrie -
ein progressives Tool fuer den Raumgeometrieunterricht
Online im Internet:
www.Mathe-Schumann.de

Softwareprogramme: Bauwas, Koerper, Maple, Povray, Rahmenplaene fuer Primar-/Sekundarstufe Mathematik
Anwesende: Dr. Grathwohl

Die Atmosphaere war locker, die Pruefung lief eher wie eine Unterhaltung ab. Die Fragen kamen zu 90% vom Pruefer. Die Fragen waren gut verstaendlich gestellt. Die Note kann ich nicht Einschaetzen mangels Vergleich, bin jedoch sehr zufrieden Prof. Fuehrer kam es nicht so sehr auf Details an, wichtig schien mir, dass er den Eindruck bekommt, dass man im grossen und ganzen den Ueberblick behaelt und man strukturierte Antworten geben kann.
Es wurden nur Fragen zum 1. und 3. Thema gestellt, wobei das 1. Thema fast 3/4 der Zeit beansprucht hat.
Ich fand die Pruefung sehr fair, weil er das 1. Thema wirklich zum Hauptthema gemacht hat.

Prüfungsfragen

Pruefer: Was glauben Sie, wie der derzeitige Stand der Forschung in Bezug auf Raumgeometrieprogramme fuer die Schule ist?
AW: Im Vergleich zur Ebenengeometrie (z.B. Cinderella) steckt die Raumgeometrie noch in den Kinderschuhen! Bei 2-D-Programmen ist die Programmentwicklung schon so weit, dass man den gesamten Schulstoff zumindest theoretisch auf solch einem Programm ausprobieren/erfahren koennte. Diese Programme bieten Aufgrund des Zugmodus/Ortskurven sogar Moeglichkeiten, die der "normale" Unterricht nicht bietet. Schaut man sich bezgl. Raumgeometrie mal den Rahmenplan an, wird man erkennen, dass nicht sonderlich viel verlangt wird, aber selbst das bisschen wird von nicht mal einem 3-D-Programm auch nur annaehernd so beherscht. Derzeit gibt es eigentlich nur 2 halbwegs interessante Programme, das Programm Bauwas und das Programm Schnitte/Koerper. Allerdings erfuellen beide Programme nur einen kleinen Ausschnitt aus dem vom Rahmenplan verlangten Themen.
Ausserdem ist die Bedienung dieser Programme, gerade das Programm Koerper nicht gerade intuitiv, so dass das Einarbeiten recht lange dauert. Z.B. war es mir nicht moeglich einen Kegel und eine Pyramide (mit gleicher Grundflaeche und gleicher Hoehe) auf eine Ebene zu stellen, um dann ueber horizontale Schnitte die Flaechengleichheit der Schnittflaechen zu zeigen.
Pruefer: Vielleicht koennten Sie einmal anhand der im Rahmenplan vorgeschriebenen Inhalte kurz skizzieren, was eine Raumgeometriesoftware eigentlich leisten sollte.
AW: 1/2. Klasse auf haptischer Ebene das Kennenlernen von Wuerfel, Quader, Zylinder, Kugel.
Pruefer: Warum nur die vier, und nicht auch Kegel/Pyramide?
AW: (Hier habe ich nur geraten) Weil es schwieriger ist Netze zu zeichnen.
Beisitzer: In den Grundschulbuechern kommt auch der Kegel vor.
AW: Ich bin nur vom Rahmenplan ausgegangen! In Schulbuechern habe ich den Kegel auch schon gesehen.
Pruefer: Von einer Kugel ein Netz zu zeichnen halte ich allerdings fuer schwieriger, als von einem Kegel.
AW: Sicherlich, aber laut Rahmenplan werden auch nur Netze von Wuerfel und Quader angefertigt. Die Kugel ist sicherlich im Programm, weil es einen direkten Umweltbezug fuer die Kinder gibt - den Ball.
Pruefer: Eine Eistuete duerfte aber auch jedem Kind bekannt sein.
(Dem konnte ich nur zustimmen)
Pruefer: Eine Software zu programmieren, die den Schuelern auf haptischer Basis lernen laesst duerfte wohl schwer sein. (Scherz vom Pruefer: man koennte natuerlich am Bildschirm zeichnen lassen, und dann den Bildschirm in die Hand nehmen und so haptische Erfahrungen sammeln)
Wie sieht das denn in der 3/4. Klasse aus?
AW: Zeichnen von Netzen wird erst in der 3/4. Klasse gemacht,...
Pruefer: Wuerfelkonstruktionen, und 3-Tafel-Projektionen macht man auch ganz gernen in der 3./4.
AW: Ja, hierfuer eignet sich das Programm Bauwas rech gut, da man Wuerfelkonstruktionen aufgrund von 3-Tafel-Zeichnungen machen kann.
(Pruefer schien das Programm nicht zu kennen, aber Beisitzer nickte ihm bestaetigend zu)
Pruefer: Was wuenscht man sich jetzt fuer die Grundschule, was koennte besser sein? Ich denke da an ein Programm dass einem einen Schatten von einer Wuerfelkonstruktion zeichnet. Der Schueler soll nun anhand des Schattens auf einem drehbaren Teller die dargestellte Konstruktion nachbauen. Dabei wirft das selbst gebaute Objekt einen eigenen Schatten in anderer Farbe. Durch Drehen des Tellers kann der Schueler sich so verschiedene Schattenrisse anschauen und mit dem gesuchten Schatten vergleichen. So koennte man Schueler bestimmt bekommen (motivieren).
Wie sieht das nun in den 5/6. Klasse aus?
AW: Netze von allen Koerpern, Winkel, auf phaenomenologischer Basis das Volumen erforschen.
Pruefer: Und auch konkret das Volumen von Wuerfel/Quader berechnen?
AW: Klar durch Auszaehlen von kleinen Wuerfelchen!
Pruefer: So ein symbolisches Umfuellen von Fluessigkeit in verschiedene Gefaesse, die man auch noch in der Groesse veraendern kann waere bestimmt auch nicht schlecht.
AW: Auf jeden Fall wuerde man sich so eine Menge Sauerei ersparen, ausserdem sind ja Gefaesse unterschiedlicher Groesse und Form nicht in ausreichender Menge verfuegbar, so dass das nachempfundene Erforschen von Volumina am PC recht interessant sein kann. Ausserdem koennte man dann ja auch versuchen Volumengleiche Koerper herzustellen, indem man den bestehenden Koerper verformt. Ein Oberflaechen-Volumen-Optimierung koennte so durch Ausprobieren erforscht werden.
Pruefer: Das generieren eines Netzes aus einem Koerper kann z.B. das Programm Koerper, aber umgekehrt, also aus einem Netz einen Koerper generieren. Wie koennte man so etwas denn umsetzen?
AW: Man muesste dem Computer beibringen wo eine Knickkante ist (das Eingeben eines Netes koennte man z.B. so wie bei den 2-D-Programmen realisieren) und dann die daran haengende Flaeche nach oben klappen. Wuesste der Computer, was man fuer einen Koerper erwartet, koennte dieser z.B. beim Wuerfel von 90° Winkeln ausgehen und dann entsprechend sich von Knickkante zu Knickkante hangeln und so den Koerper zusammenbauen. Anhand einer perspektivischen Darstellung muesste der Schueler dann sehen koennen, ob ein Wuerfel herauskommt, oder ob er vielleicht offen ist, weil er eine Flaeche vergessen hat zu zeichnen.
Beisitzer: Ein algorithmus muesste doch pruefen koennen ob der Koerper geschlossen ist, d.h. alle Kanten ein Gegenstueck haben.
AW: Das liesse sich sicherlich realisieren.
Pruefer: Vielleicht waere das Beobachten von Faltversuchen hilfreich, eine Strategie zu finden, auch einen schiefen Koerper zusammenzufuegen.
AW: Man muesste sich selbst wohl fuer solch ein Vorhaben erst einmal hinsetzen und anfangen verschiedenste Koerpernetze (am Besten unbekannte) zusammenzufalten, und die eigene Strategie festhalten. Solche Strategien muesste man auch einem Programm dann beibringen.
Pruefer: Fuer das Protokoll sollten wir noch mal ein 2. Thema ansprechen. Wie sieht es denn mit typischen Schuelerfehlern aus, was gibt es denn fuer welche?
AW: Typisch ist wohl 5+1/4 = (5+1)/4
Pruefer: Ich habe diesen Fehler noch nie gesehen!
AW: Mein Nachhilfeschueler hat so einen Fehler gemacht.
Pruefer: Das ist wahrscheinlich kein normaler Nachhilfeschueler?
AW: Kann ich nicht sagen, er hat diesen Fehler jedenfalls gemacht!
Pruefer: Das ist aber nicht der Hauptfehler oder?
AW: nein, typischerweise (jetzt kam es mir wieder) wird bei der Bruchaddition gerechnet: 3/4+2/3=(3+2)/(4+3).
Pruefer: Genau, wissen Sie woher der Fehler kommt?
AW: Wenn die Multiplikation von Bruechen mit der Addition verwechselt wird.
Pruefer: Jetzt haben sie einen Schueler, der bei jedem 2. Mal diesen Fehler macht. Was koennte man dagegen tun?
AW: Veranschaulichen was Brueche sind (z.B. 1/2 Pizza + 1/2 Pizza ist ja keine 1/4 Pizza), da dieser Schueler wohl noch nicht verstanden hat, dass man nicht wie bei den Natuerlichen Zahlen einfach rechnen kann. Zaehler und Nenner werden getrennt betrachtet. Also sollte man den Schueler abwechselnd Additions und Multiplikationsaufgaben rechnen lassen, und ueberwachen, dass er den Fehler nicht mehr macht, bzw. sofort intervenieren, und erklaeren, wenn er sich wieder geirrt hat. (Eigentlich wollte er auf Ueberschlagsrechnen hinaus)
Pruefer: Man rechnet aber nicht nur mit 1/2 oder 1/4. Was sagen sie denn dem Schueler, wenn dieser antwortet: "hier steht kein 1/2 hier steht 3/7".
Was stellen Sie sich denn unter 3/7 + 4/9 vor?
AW: Beides ist etwas weniger als 1/2, in Summe also knapp 1. Also sollte man den Schueler Ueberschlagsrechnen beibringen und ihn vor dem Rechnen abschaetzen lassen, was herauskommen soll.
Pruefer: Man, sollte versuchen Brueche auf einfach zurueckzufuehren, die sich die Schueler noch vorstellen koennen, also Brueche mit Zahlen von 1-4 (1/3, 3/4...). Dabei sollten viele Aufgaben diesen Typs – ergaenzend vielleicht auch gemischt Addition/Multiplikation – gerechnet werden. So genannte Stuetzpunkt Aufgaben. Das kennen die Schueler auch schon aus der Grundschule, 5*7=35 also wissen sie auch, dass 4*7 auch so um die 35 sein muss.
Es kamen noch ein paar zusaetzliche Fragen, an die ich mich nicht mehr im Detail erinnern kann. (z.B. operatives Prinzip)

Studienfächer