Algebra/Computeralgebra | Diplom | Mathematik | Universität Mainz

Algebra/Computeralgebra | Mathematik
08.07.2005
Art der Hochschule:
Universität
Prüfungsort:
Mainz
Studienfach:
Mathematik
Art der Prüfung:
Diplom
Prüfungsfach:
Algebra/Computeralgebra
Dauer:
30-40 Minuten
Note:
1-;
Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?
keine Angabe
Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?
keine Angabe
Prüfungsablauf / Tipps
Herr ***** war unerwartet freundlich.
Es kommt ihm aufs Verständnis an. Wenn er merkt, dass man etwas verstanden hat, geht er schonmal schnell zur nächsten Frage weiter.
Prüfungsfragen
Computeralgebra:
- Polynomdivision durch mehrere Polynome (in etwa den Algo erzählen. Rest eindeutig? => nein)
- Gröbnerbasis (Was ist das? => Def. Wie berechnet man sie? => S-Polynome. Wie überprüft man, ob man eine hat? => S-Polynome=0. Idealmembership => Poly durch (reduzierte) G-Basis ergibt eindeutigen Rest.) Er wollte dann noch die Begründung, wieso die S-Polynom-Bildung zur G-Basis führt (also Beweis).
- Algebra-Geometry-Dictionary
- Anwendungen von Gröbnerbasis in Bezug auf Ideal-Operatoren (I+J, I\cut J, I*J, I:J, radical membership).
- als einzige kompliziertere Anwendung wollte er was zu "automatic geometry theorem proving" wissen. Anhand eines Beispiels (Satz von Pascal) bißchen erzählt, wie das in etwa funktioniert. geometrische Voraussetzungen in ein Ideal packen, Aussage des Theorems liegt dann im Radikal des Ideals.

Algebra:
- Was ist eine Körpererweiterung?
- Was ist eine einfache Körpererweiterung? => von einem Element erzeugt. Was für ein Raum ist das? => Vektorraum, dim=Grad vom Mipo vom Erzeuger. (habe dabei kurz gefragt, ob er eine algebraische Körpererweiterung meint => ja).
- Dann wollte er auf die Isomorphie zu K[X]/(Mipo) hinaus (Kronecker-Verfahren).
- Hauptsatz der Galoistheorie (er meinte zuerst: Aussage, Beweis und Nutzen), nach der Aussage hat er aber dann doch lieber was andres gefragt.
- Satz vom primitiven Element
- Auflösbarkeit durch Radikale Auflösbarkeit der Galoisgruppe => "Verstehen sie jetzt, wieso die allgemeine Gleichung vom 5. Grad nich durch Radikale auflösbar ist?" => A_5 simpel und nicht abelsch => A_5 nicht auflösbar)
- Konstruierbarkeit vom gleichmäßigen 17-Eck => Quadratwurzelturmerweiterung => Kreisteilungspolynome? Grad/Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome?
- Wieso sind Quadratwurzelturmerweiterungen überhaupt die konstruierbaren Zahlen? => Wurzel ist konstruierbar.

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