Algebra/Computeralgebra | Diplom | Mathematik | Universität Mainz

Algebra/Computeralgebra | Mathematik

08.07.2005

Art der Hochschule:

Universität

Prüfungsort:

Mainz

Studienfach:

Mathematik

Art der Prüfung:

Diplom

Prüfungsfach:

Algebra/Computeralgebra

Dauer:

30-40 Minuten

Note:

1-;

Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?

keine Angabe

Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?

keine Angabe

Prüfungsablauf / Tipps

Herr ***** war unerwartet freundlich.
Es kommt ihm aufs VerstÃ¤ndnis an. Wenn er merkt, dass man etwas verstanden hat, geht er schonmal schnell zur nÃ¤chsten Frage weiter.

Prüfungsfragen

Computeralgebra:
- Polynomdivision durch mehrere Polynome (in etwa den Algo erzÃ¤hlen. Rest eindeutig? => nein)
- GrÃ¶bnerbasis (Was ist das? => Def. Wie berechnet man sie? => S-Polynome. Wie Ã¼berprÃ¼ft man, ob man eine hat? => S-Polynome=0. Idealmembership => Poly durch (reduzierte) G-Basis ergibt eindeutigen Rest.) Er wollte dann noch die BegrÃ¼ndung, wieso die S-Polynom-Bildung zur G-Basis fÃ¼hrt (also Beweis).
- Algebra-Geometry-Dictionary
- Anwendungen von GrÃ¶bnerbasis in Bezug auf Ideal-Operatoren (I+J, I\cut J, I*J, I:J, radical membership).
- als einzige kompliziertere Anwendung wollte er was zu "automatic geometry theorem proving" wissen. Anhand eines Beispiels (Satz von Pascal) biÃŸchen erzÃ¤hlt, wie das in etwa funktioniert. geometrische Voraussetzungen in ein Ideal packen, Aussage des Theorems liegt dann im Radikal des Ideals.

Algebra:
- Was ist eine KÃ¶rpererweiterung?
- Was ist eine einfache KÃ¶rpererweiterung? => von einem Element erzeugt. Was fÃ¼r ein Raum ist das? => Vektorraum, dim=Grad vom Mipo vom Erzeuger. (habe dabei kurz gefragt, ob er eine algebraische KÃ¶rpererweiterung meint => ja).
- Dann wollte er auf die Isomorphie zu K[X]/(Mipo) hinaus (Kronecker-Verfahren).
- Hauptsatz der Galoistheorie (er meinte zuerst: Aussage, Beweis und Nutzen), nach der Aussage hat er aber dann doch lieber was andres gefragt.
- Satz vom primitiven Element
- AuflÃ¶sbarkeit durch Radikale AuflÃ¶sbarkeit der Galoisgruppe => "Verstehen sie jetzt, wieso die allgemeine Gleichung vom 5. Grad nich durch Radikale auflÃ¶sbar ist?" => A_5 simpel und nicht abelsch => A_5 nicht auflÃ¶sbar)
- Konstruierbarkeit vom gleichmÃ¤ÃŸigen 17-Eck => Quadratwurzelturmerweiterung => Kreisteilungspolynome? Grad/IrreduzibilitÃ¤t der Kreisteilungspolynome?
- Wieso sind Quadratwurzelturmerweiterungen Ã¼berhaupt die konstruierbaren Zahlen? => Wurzel ist konstruierbar.

Studienfächer