Analysis | Vordiplom | Mathematik | Universität Heidelberg

Analysis | Mathematik

27.09.2002

Art der Hochschule:

Universität

Prüfungsort:

Heidelberg

Studienfach:

Mathematik

Art der Prüfung:

Vordiplom

Prüfungsfach:

Analysis

Dauer:

30-40 Minuten

Note:

Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?

keine Angabe

Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?

keine Angabe

Prüfungsablauf / Tipps

Herr ***** prueft das gesamte Gebiet
(Analysis I-III). Er legt sehr viel Wert auf
Zusammenhaenge und Verstaendnis.

Prüfungsfragen

Beginnen konnte ich mit den Hauptsaetzen der
Analysis. Ich suchte mir Bolzano-Weierstrass
heraus. Ich gab die Antwort: Jede beschraenkte
Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Als
ich mit der ueblichen Epsilontik beginnen
wollte, unterbrach er mich und fragte nach dem
Zusammenhang mit dem Vollstaendigkeitsaxiom.

Als naechstes fragte er nach dem Zwischenwertsatz.
Ich zeichnete ein Intervall und eine Kurve
hinein und erklaerte, dass jeder Punkt zwischen
f(a) und f(b) fuer ein f:[a,b]->R stetig
angenommen wird. Er fragte dann, was man damit
anstellen koennte und ich antwortete: Man kann
Nullstellen mittels Intervallschachtelung berechnen.

Er fragte nun weiter nach dem Satz von Rolle und
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Auch diese erklaerte ich ohne Epsilontik mittels
Bildchen. Damit war er zufrieden.

Als letzten Hauptsatz wollte er den Mittelwertsatz
der Integralrechnung sehen. Ich antwortete:
Das Integral einer stetigen Fkt. auf einem Intervall
enspricht dem Wert an einer Stelle mal (b-a).
Als naechstes schrieb ich noch den verallgemeinerten
Mittelwertsatz hin (mit Gewichtsfunktion g).

Er fragte nun, wie denn dieses "komische S"
definiert sei. Ich fragte sicherheitshalber
nach, welche Integraldefinition er denn
gern sehen moechte. Er verlangte Riemann. Ich
erklaerte ihm Ober-und Unterintegral und
definierte das bestimmte Integral als Grenzwert
der Integrale ueber die Treppenfunktionen. An
dieser Stelle wollte er ganz genau wissen worueber
ich den Grenzwert bilde und ich schrieb den
Grenzwert vor das Integral und erklaerte,
damit ist es ein Riemann-Integral. Bildet man
den Grenzwert ueber die Treppenfunktionen, so
erhaelt man das Regelintegral.

Er fragte nun noch ein bisschen um das ganze Thema
herum und wollte z.B. wissen, ob es Funktionen
gibt, die nicht Riemann-integrabel sind. Ich antwortete
mit ja und gab einige Beispiele. Daraufhin fragte
er, was man da machen koennte. Ich sagte, man
verwendet ein Lebesgue-Integral. Hierzu wollte
er die Definition wissen. Ich erklaerte, was
eine Treppenfunktion auf den Quadern im R^n ist.
Hier unterbrach er mich und sagte, machen Sie
das doch erstmal im R. Ich definierte mir also
die Quader als disjunkte Intervalle und erklaerte
dann den Grenzwert ueber die Integrale der Treppenfunktionen
auf diesen Intervallen als Lebesgue-Integral.

Er wollte nun wissen, was eine Nullmenge ist.
Ich antwortete unvorsichtig: Eine Menge mit
Lebesgue-Mass Null. Jetzt wollte er natuerlich
wissen, was ein Lebesgue-Mass ist. Antwort:
Das Integral ueber die charakteristische Fkt.
einer Menge. Er wollte nun einige Nullmenge wissen.
Ich nannte eine Hyperebene der Dimension n-1
im R^n und die rationalen Zahlen. Jetzt fragte er,
ob mein Bsp. f. eine nicht Riemann-integrierbare
Fkt. (eine Fkt., die 1 f. alle nichtrationalen Zahlen und
0 f. alle rationalen Zahlen ist) lebesgue-integrierbar
ist. Ich antwortete mit ja, da die rationalen Zahlen
nur eine Nullmenge sind.

Er fragte nun nach dem Begriff gleichmaessiger
Stetigkeit. Ich definierte den Begriff mit
der ueblichen Epsilontik. Jetzt wollte er wissen,
wofuer man das braucht. Ich gab die Standardantwort:
Um Aussagen ueber Stetigkeit, Differenzierbarkeit
und Integrierbarkeit ueber die Grenzwerte von
Funktionenfolgen machen zu koennen. Er wollte
jetzt wissen, ob man gleichmaessige Stetigkeit
bei der Lebesgue-Integrierbarkeit auch braucht.
Ich sagte, nein, wenn einer der Konvergenzsaetze
gilt. Die wollte er jetzt natuerlich auch noch
hoeren. Ich nannte also zunaechst den Satz von
Lebesgue (majorisierte Konvergenz) und danach
den Satz von Levi (monotone Konvergenz). Ausserdem
ergaenzte ich, dass also im Falle, dass im Falle
von Monotonie oder der Existenz einer integrierbaren
Majorante punktweise Konvergenz genuegt. Damit
war er zufrieden.

Er wollte jetzt die Definition der L^1-Halbnorm.
Ich definierte sie ueber das Integral. Er fragte
nun weiter, ob man mit dieser Norm einen normierten
Raum basteln kann. Auch das bejahte ich. Ich ergaenzte:
Man verwendet die Treppenfunktionen als Basis
und aufgrund des Satzes von Riesz-Fischer (jede
L^1-Cauchy-folge konvergiert) ist der Raum
vollstaendig, also ein Banach-Raum.

Jetzt fragte er, ob es auch noch andere Normen
dieser Art gibt. Antwort: Ja, die L^p-Normen.
Kann man auch damit Raeume bauen ? Ja. Sind
das dann die gleichen Raeume ? Jetzt kam die
fortgeschrittene Zeit zum Tragen und ich antwortete
ja, da alle Normen ja aequivalent sind. Irgendwie
war er damit nicht wirklich zufrieden und fragte:
Welche Dimension hat Ihr L^1-Raum denn ? Jetzt bemerkte
ich den Fehler und antwortete: unendlichdimensional,
damit sind die Normen auch nicht aequivalent. Also
sind die hoeheren L^p-Raeume kleiner als der L^1-Raum.

Studienfächer