Didaktik, Zahlentheorie, angew. Mathematik u. Modellbildung, Lineare Algebra 2 | 1. Staatsexamen | Mathematik | Universität Hannover

Didaktik, Zahlentheorie, angew. Mathematik u. Modellbildung, Lineare Algebra 2 | Mathematik

02.12.2005

Art der Hochschule:

Universität

Prüfungsort:

Hannover

Studienfach:

Mathematik

Art der Prüfung:

1. Staatsexamen

Prüfungsfach:

Didaktik, Zahlentheorie, angew. Mathematik u. Modellbildung, Lineare Algebra 2

Dauer:

50-60 Minuten

Note:

2-;

Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?

keine Angabe

Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?

keine Angabe

Prüfungsablauf / Tipps

Ich war erstaunt, wie viel Fachwissenschaftliches in Didaktik noch verlangt wurde.. Also dort bei der Vorbereitung lieber etwas mehr investieren. ***** besitzt neue Schulbücher, die für die Vorbereitung gut zu gebrauchen sind.
Auf jeden Fall sollte man vorher in die Sprechstunden gehen, um zu erfahren, welche Themenbereiche von den Prüfern für wichtig gehalten werden. Außerdem helfen sie auch beide gerne.
Die Reihenfolge der Themen konnte ich selbst bestimmen. Ich habe die Zahlentheorie nach hinten geschoben, weil ich mir darin am unsichersten war. Das hat auch gut geklappt, weil die Prüfer sich nicht ganz streng an die Zeitvorgaben gehalten haben und die Zahlentheorie somit nur recht kurz abgefragt wurde.
(ich habe meistens die richtigen Antworten notiert; das stimmt natürlich nicht 100%-ig mit meinen Antworten überein... Dachte, es hilft bei der Vorbereitung)

Prüfungsfragen

1. Didaktik: (*****)

2 selbstgewählte Themen: Ziele des Mathematikunterrichts, Geometrieunterricht in der Sek. 1 (am Beispiel des Satzes des Pythagoras)

Welche Sätze gehören zur Satzgruppe des Pythagoras? (Pyth., Höhen, Katheten)
Skizzieren Sie.
Sind die Sätze äquivalent?
Wie viele und welche Beweise gibt es für den Satz des Pythagoras? (etwa 400; Klassifizierung: euklidische Methode, abbildungsgeometrische Methode, Zerlegungsgleichheit, Ergänzungsgleichheit, arithmetische Beweise, Ähnlichkeitsbeziehungen, Vektorielle Beweise, analytische Geometrie)
Fähren Sie einen Beweis vor. (Ergänzungsbeweis)
Wie funktionieren andere Beweise? (2 Methoden kurz umrissen)
Geht es auch mit Ähnlichkeitssätzen? (Ja)
Nachteile? (Pyth nicht als Flächensatz; wenig anschaulich)
Bewerten Sie die anderen Beweismethoden didaktisch.
Sollte "beweisen" in der Schule gelernt werden? Warum? (Bezug zum rationalen Argumentieren; verhaltensbezogene Lehrziele nach Tietze et al)
Welche Lehrziele können an diesem Beispiel noch verfolgt werden? (versch. verhaltens- und inhaltsbezogene Lehrziele; Umsetzung skizzieren)
Wie stellen Sie sich das vor; "Mathematik als Bsp. einer deduktiven Wissenschaft? Sollte man in der 5. Klasse anfangen mit Axiomen und darauf aufbauen? (Nein, da zu abschreckend. Aber an geeigneten Beispielen insbesondere in Oberstufe -> Vorbereitung auf Studium)

2. Lineare Algebra: Jordan-Normalform (*****)

Welches Thema hatten wir abgesprochen? JNF
Möchten Sie uns dazu erst mal etwas erzählen? (Ja, ***** hatte mich in der Sprechstunde schon gefragt, ob ein Vortrag in Ordnung wäre)

Matrizen als Darstellung von linearen Abbildungen [wie sind die definiert?, wie erhält man die Abbildungsmatrix?]; Klassifizierung von Matrizen, da versch. Matrizen die gleiche Abbildung beschreiben können; Klassifizierung von Homomorphismen durch Äquivalenz, Normalformen als Repräsentanten von Äquivalenzklassen.
Klassifizierung von Endomorphismen durch Ähnlichkeit [Definition?]; wichtige Repräsentanten: Diagonalmatrizen

S.: Beispiel für eine nicht diagonalisierbare Matrix? (Drehmatrix; Grundkörper angeben)
S: Nehmen Sie mal an, Sie haben eine diagonalisierbare Matrix. Wie erhält man dann die Diagonalmatrix und die Basis dazu?
(Eigenwerte, char. Polynom [Def.] berechnen -> Einträge auf Diagonale, algebraische Vielfachheit, geometrische Vielfachheit, Eigenraum [Def.], Basis aus Eigenvektoren)
S: Kann die geometrische Vielfachheit auch größer sein als die algebraische? (nein, nur kleiner.)
S: Was passiert, wenn sie kleiner ist? (nicht diagonalisierbar; aber JNF als einfache Darstellung)
S: Wie sieht eine JNF aus? (Jordankästchen entlang der Diagonale; Kästchen aufgeschrieben)

3. angewandte Mathematik und Modellbildung (*****)

E: Warum eigentlich angewandte Mathematik? (Bezug zur Realität)
E: Wie läuft eine Modellierung ab? (Schema aufzeichnen)
E: Welche Prozesse werden in der Schule vernachlässigt? (Herstrellen des Realmodells; Interpretieren der math. Lösung)
E: Erklären Sie an einem Beispiel den Unterschied zwischen Realmodell und mathematischem Modell.
E: Welche Möglichkeiten der Modellierung gibt es bei Messdaten? (Interpolation, Regression, Annahmen über lokales Änderungsverhalten)
E: Welche Wachstumsmodelle haben wir besprochen? (exponentiell, logistisch, beschränkt)
E: Erklären Sie an einem Beispiel, wir man beim Lösen des math. Problems vorgeht. (Differenzialgl., Trennung der Veränderlichen..)
E: Wie unterscheiden sich Differenzen- und Differenzialgleichungen? Bei welcher Problemstellung ist welche Gleichung besser geeignet? (stetige bzw. diskrete Änderungen, Def.)
E: Wie findet man die Parameter für solche Funktionen? (Linearisierung der Daten durch Log, Mittelwertberechungen)

4. Zahlentheorie: (*****)

S: Welche Gleichungen spielen in der Zahlentheorie eine Rolle? (diophantische)
S: Beispiele? (linear; aufschreiben)
S: Wann ist die Gleichung lösbar? (ggT)
S: Wie findet man die Lösungen? Wie viele gibt es?(Euklid. Alg., 1. Lösung; weitere durch Parameter bzw. Lösungsformel)
S: Können Sie das zeichnen? Nehmen sie mal an, Sie haben 2 Variablen. (Gerade zeichnen; Lösungen sind Gitterpunkte auf der Geraden; äquidistant)
S: Welche diophantischen Gleichungen gibt es noch? (quadratisch)
S: Beispiel? (Pellsche Gleichung, aufschreiben)
S: Wann ist sie lösbar? (triviale Lösungen; für D nicht quadratisch unendlich viele Lösungen)
S: Was passiert, wenn D quadratisch ist? (einfach lösbar; ausrechnen)
S: Wie findet man die Lösungen? (Grundlösung, Pellsche Einheiten als Potenzen der Grundlösung)
S: Was meinen Sie mit "Potenzen"? (Grundeinheit hoch n; umformen nach Binomischem Lehrsatz, umordnen)
S: Können Sie das auch aufzeichnen? (Hyperbel, Lösungen als Gitterpunkte, symmetrisch zum Ursprung)
S: Wie kann man die Lösungen finden? (Näherungsweise Berechnung über Kettenbruch von Wurzel(D); irgendwas mit Periodenlänge...)

Studienfächer