Höhere Mathematik I-IV für Physiker und Numerik für Physiker | Vordiplom | Physik | Universität Dortmund

Höhere Mathematik I-IV für Physiker und Numerik für Physiker | Physik

16.04.2003

Art der Hochschule:

Universität

Prüfungsort:

Dortmund

Studienfach:

Physik

Art der Prüfung:

Vordiplom

Prüfungsfach:

Höhere Mathematik I-IV für Physiker und Numerik für Physiker

Dauer:

20-30 Minuten

Note:

Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?

keine Angabe

Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?

keine Angabe

Prüfungsablauf / Tipps

- Sehr angenehme Prüfungsatmosphäre; Prüfer ist freundlich und geduldig, wenn mal etwas nicht sofort stimmt.
- Kleine Fehler wirken sich (fast)nicht auf die Note aus.
- Stellt manchmal etwas "unklare" Fragen, die dann aber oft auf etwas völlig banales abzielen; ruhig nachfragen, wenn man nicht versteht, worauf er hinauswill.
- Es lohnt sich, alte Prüfungsprotokolle (z.B. von der Fachschaft) durchzugehen, da er manche Dinge immer wieder fragt.

Prüfungsfragen

1.Thema: Reihen

- Wie sieht die geometrische Reihe aus? Wann konvergiert sie und wogegen?
åxn, konvergent für |x|<1, konvergiert gegen 1/(1-x)
- auch für komplexe x gültig?
Ja, völlig analog.
- Allgemeine Form der Potenzreihe? Konvergenzverhalten?
åan(x-x0n, konvergiert in einem Kreis um x0
- Berechnung des Konvergenzradius?
Quotienten- oder Wurzelkriterium, Kriterien erläutern
- Reihen å 1/n bzw.å 1/n²: Konvergenz?
erste divergent (folgt aus Cauchy-Kriterium), zweite konvergiert gegen p2/6
- Welche Konvergenzkriterien gibt es noch?
Leibnizkriterium für alternierende Reihen, Majoranten-/Minorantenkriterium, Integralkriterium, jeweils mit Erläuterung

2.Thema: rationale Funktionen und Polynome

- Was ist eine rationale Funktion? Wo ist die definiert?
Quotient aus zwei Polynomen (Nenner darf nicht Nullpolynom sein.), definiert an allen Punkten, die nicht Nullstelle des Nenners sind.
- Zahl der Nullstellen eines Polynoms?
N Nullstellen bei Grad N, mit Vielfachheiten gezählt
- Rationale Funktionen im Komplexen?
Analog zu reellem Fall

3.Thema: Funktionentheorie

- Wann nennt man komplexe Funktionen holomorph?
wenn auf offener Menge komplex diff'bar
- Wann heißt eine Menge offen?
Wenn bel. Umgebung um jeden Punkt der Menge vollständig in der Menge liegt.
- Wie lautet der Cauchysche Integralsatz? Welche Voraussetzungen?
Integral über geschlossene Kurve gibt bei holomorphem Integranden Null. Voraussetzung: Kurve wird so durchlaufen, dass Gebiet links liegt
- Was macht man bei Kreisring?
Man integriert über beide Kreise, mit unterschiedlichem Durchlaufsinn
- Welche Reihen konvergieren in so einem Kreisring?
Laurentreihen (wollte nicht mehr dazu hören!)
- Integrieren sie doch mal 1/(1-cos z) über einen Kreis um den Nullpunkt. Wie geht das?
Singularität bei 0, also mit Residuensatz
- Wie geht der Residuensatz? Was ist ein Residuum?
Residuum: -1.Koeffizient der Laurentreihe; Residuensatz: Integral ist 2pi mal Summe der Residuen aller umschlossenen Singularitäten
- Was liegt für eine Singularität vor?
Pol 2.Ordnung, Berechnung mit Definition
- OK, was ist nun das Residuum?
Zuerst mit Formel für Pole versucht, wird aber umständlich, daher werde ich im Laufe der Rechnung unterbrochen:
- Wie sieht denn die Reihe für cos aus?
å(-1)n/(2n)! z2n
- Was gilt dann für 1/(1-cos z)?
Enthält nur geradzahlige Potenzen, also Residuum Null, damit auch Integral.

4.Thema: Wellengleichung

- Wie sieht die Wellengleichung aus?
hyperbolische DGL der Form utt-c2Du = 0
- Allgemeine Lösung? Bedeutung der Terme?
f(x + ct) + g (x - ct) mit bel. Funktionen f, g; Bedeutung der Argumente: Ausbreitung der Welle in positiver bzw. negativer Richtung
- Wie sieht das Cauchyproblem aus? Wie löst man es?
räuml.unbeschränkt, Anfangswerte für u und ut gegeben; Lösung mittels Integralformel
- Was macht man bei Randwertproblem?
Lösungsansatz u = uL + uR + uA; Funktionen erfüllen linke Randbedingung, rechte Randbedingung bzw. Anfangsbedingung
- Was sind Charakteristiken? Eindeutigkeit der Lösung in einem Dreieck?
Geraden x + ct bzw. x - ct im x-t-Raum; besagtes Dreieck von x-Achse und zwei Charakteristiken begrenzt; Lösung eindeutig, wenn auf den Charakteristiken bekannt oder Anfangswerte auf der Basis gegeben

5.Thema: Numerik des Eigenwertproblems

- Wie berechnet man Eigenwerte?
Nullstellen des charakteristischen Polynoms oder numerisch
- Welche numerischen Verfahren gibt es?
Zum einen Transformationsverfahren, z.B. QR-Verfahren, oder Iterationsverfahren, z.B. Potenzmethode oder inverse Iteration
- Wie funktioniert Potenzmethode?
Voraussetzungen: Matrix A hat betragsgrößten EW, bel.Startvektor y0 gewählt ("verbotene" Vektoren in der Praxis nicht vorkommend wg. Rundungsfehler); Iteration: xi = yi/|yi|, yi+1 = Axi; mit xi gebildeter Rayleigh-Quotient konvergiert gegen EW
- Was ist bei inverser Iteration anders?
Iteration mit A-1 durchgeführt, aber Inverse nicht berechnet sondern Gleichungssystem wird gelöst; Verfahren liefert betragskleinsten EW
- Wie kann man damit die anderen EW bestimmen?
Spektralverschiebung mit Näherungswerten m durchführen, so dass l-m betragskleiner EW von A - mEn ist.

Studienfächer