Numerik I | Diplom | Mathematik | Universität Duisburg

5-Min-Thema:

Banachscher Fixpunktsatz mit Beweis.

Sei f eine stark kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) in sich.
Dann besitzt f genau einen Fixpunkt in X.

Existenz
Idee: Zeigen, dass I (f, x 0) eine Cauchy-Folge auf X ist und damit konvergiert. Wähle x 0 X und bilde I (f, x 0).

Eindeutigkeit
x*, y* X seien Fixpunkte.
Dann gilt:
Wo finden wir eine Anwendung des Satzes?

Manchmal ist die Kontraktionszahl aber nah bei 1, was tut man dann?

Was ist eine stark kontrahierende Abbildung?
Welches Relaxationsverfahren kennen Sie?

Wie sieht es bei mehrdimensionalen Gleichungssystemen aus?


Newton-Verfahren
Newton-Verfahren mehrdimensional

Konvergenz über Satz von Newton-Kantorowitsch

Satz von Ostrowski