Numerik I | Mathematik
24.10.2000
Art der Hochschule:
Universität
Prüfungsort:
Duisburg
Studienfach:
Mathematik
Art der Prüfung:
Diplom
Prüfungsfach:
Numerik I
Dauer:
30-40 Minuten
Note:
1;
Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?
keine Angabe
Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?
keine Angabe
Prüfungsfragen, Prüfungsablauf, Tipps
5-Min-Thema:
Banachscher Fixpunktsatz mit Beweis.
Sei f eine stark kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) in sich.
Dann besitzt f genau einen Fixpunkt in X.
Existenz
Idee: Zeigen, dass I (f, x 0) eine Cauchy-Folge auf X ist und damit konvergiert. Wähle x 0 X und bilde I (f, x 0).
Eindeutigkeit
x*, y* X seien Fixpunkte.
Dann gilt:
Wo finden wir eine Anwendung des Satzes?
Manchmal ist die Kontraktionszahl aber nah bei 1, was tut man dann?
Was ist eine stark kontrahierende Abbildung?
Welches Relaxationsverfahren kennen Sie?
Wie sieht es bei mehrdimensionalen Gleichungssystemen aus?
Newton-Verfahren
Newton-Verfahren mehrdimensional
Konvergenz über Satz von Newton-Kantorowitsch
Satz von Ostrowski
Banachscher Fixpunktsatz mit Beweis.
Sei f eine stark kontrahierende Abbildung eines vollständigen metrischen Raumes (X, d) in sich.
Dann besitzt f genau einen Fixpunkt in X.
Existenz
Idee: Zeigen, dass I (f, x 0) eine Cauchy-Folge auf X ist und damit konvergiert. Wähle x 0 X und bilde I (f, x 0).
Eindeutigkeit
x*, y* X seien Fixpunkte.
Dann gilt:
Wo finden wir eine Anwendung des Satzes?
Manchmal ist die Kontraktionszahl aber nah bei 1, was tut man dann?
Was ist eine stark kontrahierende Abbildung?
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