Numerik | Vordiplom | Mathematik | Universität Heidelberg

Numerik | Mathematik

14.05.2002

Art der Hochschule:

Universität

Prüfungsort:

Heidelberg

Studienfach:

Mathematik

Art der Prüfung:

Vordiplom

Prüfungsfach:

Numerik

Dauer:

50-60 Minuten

Note:

Konntest du mit einem selbst gewählten Thema beginnen?

keine Angabe

Versucht der Prüfer bei Schwierigkeiten zu helfen?

keine Angabe

Prüfungsablauf / Tipps

Herr ***** ist ein sehr fairer Pruefer und hilft bei Schwierigkeiten grundsaetzlich.

Pures Auswendiglernen ist bei ihm aber toedlich, da er nur auf Verstaendnis prueft. Er neigt dazu gern mal Dinge abzupruefen, die nicht in der Vorlesung kamen, um zu sehen, ob der Pruefling das Problem erschliessen kann.

Er fragt ausserordentlich praezise und hat ein sehr ausgepraegtes Talent, Schwaechen zu erkennen. Er lotet die Kenntnisse des Studenten wirklich sehr genau aus und prueft sehr umfassend. Hinterher hat man das Gefuehl, richtig ausgequetscht worden zu sein. Er erlaeutert nach der Prfg. auch seine Gruende fuer die Bewertung und erklaert unverstandene Sachverhalte in der Nachbesprechung. Man hat einfach das Gefuehl richtig fair behandelt worden zu sein.

Prüfungsfragen

Was ist der Rundungsfehler ? Antwort: Fehler der durch das Abschneiden und anschliessendes Runden bei Gleitkommaoperationen auftritt.

Erlaeutern Sie den Begriff Maschinengenauigkeit. Antwort: Kleinster Rundungsfehler bei Gleitkommaoperationen.

Koennen Sie einige Beispiele fuer gut-oder schlechtkonditionierte Probleme nennen ? Antwort: Addition, Wurzelbestimmung.

Was wissen Sie ueber die Multiplikation ? Gut oder schlechtkonditioniert ? Antwort: generell gutkonditioniert.

Was bedeutet Stabilitaet ? Antwort: Rundungsfehleranfaelligkeit eines Algorithmus.

Erlaeutern Sie das Gauss-Verfahren. Ich habe das Verfahren erlaeutert und ein Beispiel aufgemalt. Danach habe ich erklaert, wie man das ganze durch Permutations- und Frobeniusmatrizen beschreiben kann.

Welchen Aufwand muessen Sie fuer das Gauss-Verfahren treiben ? Antwort: O(n^3). Genauer: n^3/3 + O(n^2)

Hat das Verfahren immer eine Loesung ? Antwort: Nein. Bei singulaeren Matrizen existiert u.U. keine LR-Zerlegung.

Erlaeutern Sie Spaltenpivotierung. Antwort: Suche nach dem groessten Element der Spalte und Vertauschung mit der aktuellen Spalte. Das Verfahren erhoeht die Stabilitaet. Ein weiteres Verfahren waere die Aequilibrierung.

Haben Sie diesen Aufwand immer ? Was geschieht mit Bandmatrizen ? Antwort: Duennbesetzte Matrizen bringen keinen Vorteil. Positiv definite Matrizen oder diagonaldominante kommen ohne Pivotierung aus. positiv definite Matrizen koenne mittels Cholesky-Zerlegung bearbeitet werden.

Erlaeutern Sie die Cholesky-Zerlegung. Ich habe nur das Prinzip erlaeutert. Damit war er etwas unzufrieden.

Das Verfahren geht doch etwas anders, als Gauss. Wie ? Antwort: Man parkettiert die Matrix. Dazu kenne ich zwei Verfahren. Einerseits das Standardverfahren von Cholesky (ich male es auf) und die Parkettierung nach Banachiewicz.

Welchen Aufwand hat das Verfahren ? Antwort: Ebenfalls O(n^3). Genauer: n^3/6+O(n^2). Also halb so viel, wie Gauss.

Was tun Sie, wenn Sie eine Inverse bestimmen moechten ? Antwort: Ich erlaeutere das Gauss-Jordan-Verfahren.

Das Gauss-Verfahren benoetigt nun einen sehr hohen Aufwand. Kennen Sie bessere Verfahren ? Antwort: Mehrgitter. Er laechelt und praezisiert seine Frage: Das ist ein Spezialfall von dem, was ich meinte. Ich antworte: Iterative Verfahren.

Nennen Sie ein iteratives Verfahren. Antwort: Mehrgitter. Er lacht und fragt weiter: Ein anderes. Ich antworte: Fixpunktiterationen.

Erlaeutern Sie das Prinzip von Fixpunktiterationen. Antwort: Ich erlaeutere ihm das Verfahren in 1d.

Koennen Sie das fuer Matrizen anwenden ? Der Beisitzer greift ein und weist daraufhin, dass das in der Vorlesung nicht kam. Er ueberlegt kurz und sagt: Dann machen wir das eben jetzt. Ich schreibe die Gleichung Ax=b hin und komme ueber die Defektgleichung zur Iteration.

Wie konvergiert dieses Verfahren ? Antwort: Nach dem Banachschen Fixpunktsatz. Ich schreibe den Satz hin. und erlaeutere die beiden Abschaetzungen. Danach erlaeutere ich die Beweisidee fuer die a-priori-Abschaetzung (Cauchy-Folge).

Kennen Sie einen Spezialfall der Fixpunktiteration ? Antwort: Newton-Verfahren. Ich erklaere das Verfahren und erklaere die Konvergenz.

Welche beiden Voraussetzungen brauchen Sie fuer Newton ? Antwort: stetig differenzierbar (2mal) und es muss eine einfache Nullstelle sein.

Warum konvergiert das so ? Wir leiten daraufhin gemeinsam die Konvergenz her. Der Beisitzer beginnt auf die Uhr zu sehen, da die 30min eigentlich vorbei sind.

Konvergiert Newton immer quadratisch ? Antwort: Nein. Es kann auch superlinear konvergieren. Ich erlaeutere den Zusammenhang.

Er wechselt das Thema und fragt nach der Gauss-Quadratur. Was ist das ? Antwort: Eine spezielle Form der Quadratur, die es erlaubt Polynome vom Grad 2n+1 exakt zu integrieren.

Es geht ihm zu schnell und er verlangt zunaechst einmal das Aufschreiben das Skalarproduktes. Ich schreibe es auf und erlaeutere die Gewichtsfunktion (w=1 Gauss).

Wieso waehlen Sie als Integrationsgrenzen -1 und +1. Ich anworte: Man kann das Intervall ja transformieren, damit es in [-1,+1] abgebildet wird.

Sie sagten, man waehlt die Stuetzstellen als Parameter aus. Nimmt man irgendwelche Stuetzstellen ? Antwort: Nein sondern die Nullstellen der Legendre-Polynome.

Schreiben Sie die Legendre-Polynome mal auf. Ich schreibe die Rekursion auf. Er fragt weiter nach einer expliziten Darstellung. Auch die schreibe ich hin.

Er fragt nun, wo die Nullstellen dieser Polynome liegen. Ich antworte in [-1,+1]. Er sagt: Wissen Sie nun, warum man [-1,+1] nimmt ?

Schreiben Sie nun die erste Gauss-Formel hin. Ich tue ihm den Gefallen und er fragt, wo liegt die erste Nullstelle ? Ich antworte: Bei Null. Ich verlangt, dass ich das Intervall aufmale und die Nullstelle einzeichne. Er will wissen, wo die Nullstellen der naechsten Gauss-Formel liegen. Ich zeichne Sie ein. Sehen Sie nun einen Zusammenhang ? Ja. Newton-Cotes-Formeln.

Welche ? Antwort: Die erste offene. Wie heisst die ? Mittelpunktsregel.

Welche Ordnung haben die Formeln ? Nach meiner Erklaerung fragt er: Sehen Sie nun den Vorteil ? Ja. Daraufhin zeigt er auf die Tuer - Prgf. beendet.

Studienfächer